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Problèmes

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Je vous propose dans cette partie divers problèmes abordables en première année, classés par niveau.

Ne cherchez pas les corrigés de ces problèmes : ils ne sont pas présents sur mon site.

Je vous souhaite un bon entraînement !

Niveau Bronze

  • Quelques inégalités classiques
      Prérequis : Fonctions usuelles, Calculs algébriques.

  • Résolutions d'équations différentielles
      Prérequis : Fonctions usuelles, Equations différentielles, Calcul intégral.

  • Étude d'une suite définie implicitement
      Prérequis : Suites, Continuité, Analyse asymptotique.

  • Dérivée symétrique d'une fonction de la variable réelle
      Prérequis : Continuité, Dérivabilité.

  • Le théorème de Lamé
      Prérequis : Artithmétique.

  • Matrices magiques et semi-magiques
      Prérequis : Applications linéaires, Calcul matriciel, Espace vectoriel de dimension finie, Représentations matricielles.

  • Endomorphsimes antisymétriques d'un espace euclidien
      Prérequis : Applications linéaires, Calcul matriciel, Espace euclidien, Endomorphismes orthogonaux, Représentations matricielles.

  • Let's Make a Deal
      Prérequis : Probabilités finies, Variables aléatoires.

  • Formule de Stirling à l'aide des intégrales de Futuna
      Prérequis : Intégration.

  • Inégalité de Carlemann
      Prérequis : Calculs algébriques et fonctions usuelles.

  • Homographies conservant \(\mathbb{U}\)
      Prérequis : Nombres complexes.

  • Formules à la John Machin
      Prérequis : Fonctions usuelles, nombres complexes et calculs algébriques.

  • Marche aléatoire sur un damier
      Prérequis : Applications linéaires, Calcul matriciel, Représentations matricielles, Probabilités finies, Variables aléatoires.

  • Dérivation dans un anneau
      Prérequis : Structures algébriques.

  • Séries de Engel
      Prérequis : Calculs algébriques et Inégalités dans \(\mathbb{R}\).

  • Fonctions dilatantes
      Prérequis : Fonctions usuelles, Suites, Continuité et Dérivation.

  • Le tie-break du tennis
      Prérequis : Probabilités.

  • Fonctions absolument monotones versus fonctions totalement monotones
      Prérequis : Calculs algébriques, continuité et dérivabilité de fonctions à valeurs réelles ou complexes.

  • Moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs
      Prérequis : Calcul intégral, continuité et dérivabilité de fonctions à valeurs réelles ou complexes et suites à valeurs réelles ou complexes.

    Niveau Argent

  • Homographies du plan complexe
      Prérequis : Nombres complexes, Applications, Structures algébriques.

  • Étude de l'anneau \(\mathbb{Z}[j]\)
      Prérequis : Structures alébriques, Arithmétique.

  • La méthode de Newton modifiée
      Prérequis : Continuité, Dérivabilité, Formules de Taylor, Suites reélles.

  • Commutant de matrices
      Prérequis : Applications linéaires, Calcul matriciel, Représentations matricielles, Structures algébriques.

  • Matrices et probabilités
      Prérequis : Applications linéaires, Calcul matriciel, Représentations matricielles, Probabilités finies, Variables aléatoires.

  • Polynômes de Legendre et quadrature de Gauss
      Prérequis : Espaces euclidiens, Intégration, Polynômes.

  • Méthode de Cardan pour l'équation polynomiale de degré 3
      Prérequis : Nombres complexes, Polynômes.

  • Birapports et théorème de Miquel
      Prérequis : Nombres complexes.

  • Autour du théorème des nombres premiers
      Prérequis : Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\).

  • Matrices stochastiques et application
      Prérequis : Calcul matriciel, Probabilité, Polynômes à une indéterminée, Structures algébriques.

  • Algèbre de Boole
      Prérequis : Applications et Ensembles.

  • « Loteries de dés veinardes »
      Prérequis : Suites et Dénombrement.

  • Le théorème de d'Alembert-Gauss
      Prérequis : Inégatités dans \(\mathbb{R}\), Nombres Complexes, Polynôms et Suites.

  • Transposition d'un endomorphisme
      Prérequis : Application linéaires et Représentations matricielles.

  • Polygones réguliers à 5 et à 17 côtés
      Prérequis : Calculs algébriques et Nombres complexes.

  • La décomposition de Choleski
      Prérequis : Calcul matriciel.

  • Le théorème de Block-Thielmann
      Prérequis : Polynômes.

  • Notion de tribus
      Prérequis : Applications et Ensembles.

  • Inégalités de Cauchy-Schwarz, de Milne et de Grüss
      Prérequis : Calculs algébriques et Structures algébriques.

  • Noyaux et images itérés
      Prérequis : Applications linéaires.

  • Développement décimal de réels
      Prérequis : Inégalités dans \(\mathbb{R}\), Séries numériques.

  • Etude d'un combat à 3
      Prérequis : Probabilités finies et Variables aléatoires.

  • Le paradoxe de Penney
      Prérequis : Probabilités finies et Variables aléatoires.

  • Postulat de Bertrand et applications
      Prérequis : Inégatités dans \(\mathbb{R}\) et Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\).

  • Endomorphismes échangeurs
      Prérequis : Applications linéaires et Représentations matricielles.

  • Fonctions arithmétiques multiplicatives
      Prérequis : Arithémtique dans \(\mathbb{Z}\).

  • Projecteurs
      Prérequis : Applications linéaires et Représentations matricielles.

  • Coefficients binomiaux, racines \(n\)-ème et limites
      Prérequis : Analyse asymptotique, Calculs algébriques et Nombres complexes.

    Niveau Or

  • La décomposition LU
      Prérequis : Calcul matriciel, Groupe symétrique, Structures algébriques.

  • Entiers sommes de deux carrés
      Prérequis : Structures alébriques, Arithmétique.

  • Entiers sommes de quatre carrés
      Prérequis : Arithmétique, Calcul matriciel, Dénombrement et Déterminants.

  • L'équation de Fermat Polynomiale
      Prérequis : Arithmétique des polynômes.

  • La formule de Poincarré et applications
      Prérequis : Dénombrements, Groupe symétrique, Probabilités finies.

  • Filtres et ultrafiltres sur un ensemble
      Prérequis : Applications, Dénombrement et Ensembles.

  • Méthode de la sécante
      Prérequis : Continuité, Dérivabilité, Formules de Taylor, Suites reélles.

  • Extension de corps quadratique
      Prérequis : Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\), structures algébriques, espaces vectoriels de dimension finie.

  • Déterminant de Gram et applications
      Prérequis : Déterminants, Espaces préhilbertiens réels.

  • Inégalités de Hardy
      Prérequis : Calculs algébriques, Analyse asymptotique.

  • La totale sur les nombres de Catalan
      Prérequis : Dénombrements.

  • Somme de deux fonctions périodiques
      Prérequis : Continuité, Inégalités dans \(\mathbb{R}\), Structures algébriques.

  • Marches aléatoires sur \(\mathbb{Z}^d\)
      Prérequis : Suites, Probabilités finies et Variables aléatoires.

  • Matrices de trace nulle et matrices nilpotentes
      Prérequis : Applications linéaires, Matrices, Représentations matricielles.

  • La formule d'Euler-Maclaurin et applications
      Prérequis : Analyse asymptotique, Applications linéaires et Intégration selon Riemann.

  • Equation différentielles et théorème du relèvement
      Prérequis : Equations différentielles, Fonctions usuelles, Continuité et Dérivabilité, Nombres complexes et Suites.

  • Le théorème de Beatty et le jeu de Wythoff
      Prérequis : Dénombrements, Ensembles et Suites.

  • Equation de Pell-Fermat
      Prérequis : Calculs algébriques, Dénombrements et Structures algébriques.

  • Quotient d'un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel et quelques applications
      Prérequis : Aplications linéaires, Espaces vectoriels et Relations binaires.

  • Polynômes cyclotomiques et théorème de Kronecker
      Prérequis : Nombres complexes et Polynômes.

  • La totale sur les matrices symétriques et antisymétiques
      Prérequis : Espaces vectoriels de dimension finie, Applications linéaires, Espaces préhilbertiens réels, Représentations matricielles et Groupe symtrique.

  • Le petit théorème de Fermat pour les matrices
      Prérequis : Dénombrement, Structures algébriques, Calcul matriciel et Groupe symétrique.

  • Autour des inégalités de Kolmogorov
      Prérequis : Intégration selon Riemann.

    Niveau Or Brillant

  • Valeurs absolues sur \(\mathbb{Q}\)
      Prérequis : Fonctions usuelles, structures algébriques et calculs algébriques.

  • « Probabilité » pour que deux entiers soient premiers entre-eux
      Prérequis : Dénombrements, Polynômes, Fractions rationnelles, Probabilités finies et Suites.

  • Lemme de Zorn, théorèmes de la base incomplète et de la base extraite
      Prérequis : Ensembles, Espaces vectoriels et Relations binaires.

  • Formule de Héron et inégalité isopérimétrique
      Prérequis : Inégalités dans \(\mathbb{R}\), Intégration selon Riemann, Espaces préhilbertiens et Nombres complexes.

  • L'ensemble des nombres algébriques
      Prérequis : Applications linéaires, Représentations Matricielles, Déterminants, Applications, Polynômes à une indéterminée et Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\).

  • De Cesàro à Hardy en passant par Mertens et Abel : la totale sur les produits de Cauchy.
      Prérequis : Suites et Séries numériques.

  • Étude asymptotique du terme général d'une série convergente.
      Prérequis : Dénombrement, Ensembles, Suites et Séries numériques.



    • ©Poiret Valentin